Równanie logistyczne i Diagram bifurkacji


Original: http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/logistic/

Wpisany przez Paweł Bourke
Wrzesień 1993

Przykładowy kod C: graph.c
Wkład Adama Majewskiego: diag.c

Wkład Tim Meehan
Python: logistic_map.py.

Standardowy formularz z tzw logistyczną funkcją jest przez

f (x) = R x (1 – x)

Gdzie R nazywa tempo wzrostu, kiedy równanie jest używane do wzrostu populacji model w gatunków zwierząt powiedzieć.

To był spopularyzowany przez przeglądowym artykule napisanym przez Roberta maju w 1976 roku jako przykład bardzo prostego równania nieliniowego jest w stanie produkować bardzo złożoną dynamikę.

Kiedy używany do stworzenia serii

+1 = R (1 -)

Seria ta zachowuje się w jednym z następujących sposobów w zależności od wartości R, warunki początkowe nie mają znaczenia (w granicach rozsądku).

Ekstynkcji (nieciekawe stały punkt)
Jeśli R tempo wzrostu jest mniejsze niż 1 system „umrze“, -> 0.

Punkt stały
Seria ma tendencję do pojedynczej wartości. Jak to osiągnie wartość ta nie jest ważna, ale zazwyczaj oscyluje około punktu stałego, ale w przeciwieństwie do masowej systemem sprężynowym, seria ogólnie ma tendencję do szybkiego podejścia stałe punkty. Na wykresie poniżej rozwidlenia w systemie można uznać tendencję do stałych punktów dla 1

Okresowy
Seria skacze między dwoma lub więcej dyskretnych stanów. Na wykresie poniżej rozwidlenia można zauważyć, że system używa na przemian 2 Zjednoczonych po R = 3. Po około 3,44948 (1 + sqrt (6)) system używa na przemian 4 państw. Zwróć uwagę na skoki systemowych między tymi państwami, to nie przechodzi przez wartości pośrednie. Liczba państw stale wzrasta w procesie zwanym podwojenie okresu wraz ze wzrostem R. Na przykład w 3.5441 do 3.5644 znajduje się 8 państw. Między 3.5644 i 3.5688 jest 16 państw.

Chaotyczny
W tym stanie system może ocenić na każdej pozycji w ogóle bez widocznego celu. Na wykresie poniżej rozwidlenia, system przechodzi coraz częstsze podwojenie okresu do czasu wejścia w chaotyczny reżim na temat 3.56994. Poniżej R = 4 stany są związane między (0,1), powyżej 4 System może ocenić na (0, nieskończoność).
Amoungst ten chaos 3 okres zaskakująco pojawia się pomiędzy około 3,8284 (1 + sqrt (8))

Poniżej jest znany jako diagram bifurkacji, pokazuje wartości systemu (seria) ocenia się dla różnych wartości lub R. W praktyce schemat jest generowanych przez wybór losowy wartość początkową w przedziale (0,1) i ocenę pierwszy Terminy na północ od serii dla odpowiednio dużych wartości N (słownie 1000). W tym momencie system uznaje się, że osiadł i kolejne terminy M serii wykreślane są ponownie do odpowiedniej M duży (powiedzmy 10.000).

Powiększanie, aby pokazać okres podwojenie jaśniej.Particulaly interesującą cechą podwojenia okresu jest stosunek kolejnych odstępach czasu podwojenia okresu, jest to stały znanego jako numer Feigenbaum.

Liczba Feigenbaum = 4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577

Comments are closed.