Backgammon Kończy


Backgammon Ends
Copyright © By Douglas Zare
For original English text, go to: http://math.harvard.edu/~ctm/expositions/bgends.html

Matematycy spojrzeć na świat trochę dziwnie. Jesteśmy zainteresowani w niejasnych rzeczy, czerpiemy wielką satysfakcję z bycia pewni, co inni mogą uznać za pewnik albo nigdy o tym myśleć, i często można je stosować do ciekawych wypowiedzi na temat „prawdziwego świata“ (dużo do naszego zażenowania). Mam nadzieję, że zgodzi się Pan, że jest to jedno z tych ciekawych stwierdzeń.

Twierdzenie (Curt McMullen, 1994): Backgammon kończy się z prawdopodobieństwem 1.

To znaczy, jeśli ktoś używa losowych Dice (nawet lekko stronniczy nich) i każdą osobę prawną strategię gry (nawet próbuje stracić), to prawdopodobieństwo, że gra została zakończona przez n-tego ruchu staje się dowolnie bliska 1, co zwiększa n. Istnieją pewne posunięcie takie, że szansa, że ​​gra została zakończona przez ten ruch jest co najmniej 99%, co najmniej 99,999%, itd. więc szansa, że ​​gra nadal zawsze jest 0.

Wynik ten, podobnie jak przeważająca część matematyki, obejmuje niewiele obliczeń. Nie widziałem szczegółów napisane w dowolnym miejscu jeszcze, ale wynik ten powinien być dostępny dla każdego poważnego gracza backgammon. Użyję 3 kroki, aby wykazać twierdzenie.

Krok 1: Wyobraźmy sobie zmianę: Gracz A połączeń (wybiera) kośćmi, a gracz B musi dokonać prawnej ruch. To wystarczy, aby pokazać, że ta gra jest modyfikowany wygrana dla gracza, o ile początkowa pozycja jest legalne.

Krok 2: W tej zmodyfikowanej gry z dowolnego odtwarzacza prawnej pozycji może wybrać kości tak, że nie obaj gracze są na pasku. (Można to zrobić w 20 rolek).

Krok 3: Z jakiejkolwiek pozycji, w której obaj gracze nie są w barze, Gracz może zakończyć grę poprzez wywołanie 2-4 tyle razy z rzędu. (9000 to wystarczającą ilość razy).

Dlaczego to wystarczy, by wykazać, że wzywanie kości może zakończyć grę? Przypuśćmy, że z każdej pozycji, niektóre stały numer „n“ starannie dobranych rolkach zakończy grę. (Możemy n być maksymalna ilość rolek potrzebnych na zbiorze skończonym możliwych stanowisk prawnych backgammon, gdybyśmy mieli wartość dla każdej pozycji.) Istnieje szansa na co najmniej 1/36 ^ n, że kości będą się zachowywać jakby powołany przez gracza A dla n rolkach. To nie dużo, ale przypuszczam, że nie stanie. Następnie po pierwszym n rolkach, jeśli gra trwa nadal, tam znów będzie co najmniej 1/36 ^ n szansa, że ​​kości będą się zachowywać tak, jakby wywołana przez gracza A. Do gry nadal musi zachować unikając te 1/36 ^ n szans. To stanie się na chwilę, ale z prawdopodobieństwem 1, w końcu prawdopodobieństwo 1/36 ^ n wydarzenie nastąpi, a kości będą się zachowywać tak, jakby posiadał. Jeśli loteria jest uczciwa i zachować gra, w końcu wygrasz, a nawet wygrać nieskończenie wiele razy.

Ok, więc jak może gracz wywołanie kości zakończyć grę? Po pierwsze, zawodnik może otrzymać co najmniej jednego gracza off barze. To proste wystarczy zrobić, jeśli pozycja jest legalne, nie może być, że obaj gracze są odcięci. Więc jeśli gracz nie jest odciąć się, dać im podwaja się z kilku, które jest otwarte. Jeżeli to dostaje wszystko tego gracza warcaby i wyłączania paska, to możemy przejść do następnego kroku. Jeśli nie, to 4 warcaby zjechał poprzeczkę, a co najwyżej jeden został trafiony. Więc teraz co najmniej 3 mniej warcaby na pasku. Można dać lepsze oszacowanie, ale ponieważ znajduje się 30 warcaby ogółem to po co najwyżej 10 giełdach (20 rolek) co najmniej jeden gracz będzie miał żadnych pionków na pasku.

Wreszcie, jeśli co najmniej jeden zawodnik nie jest na pasku, a następnie wielokrotnie nazywając 2-4 zakończy grę. Część idei Curta McMullen było to, że w tym przypadku co najmniej jeden zawodnik musi być w stanie odtworzyć część 2-4. Jeśli dokonałeś pkt 2 i 4 pestek wyprzedzając rejestratora z kopalni, następnie masz 2 do odegrania, z punktu 4 wyprzedzając w pkt 2 przed nami. Może nie być w stanie zagrać to czy jesteś na pasku, ale następnie można przenieść poza pasek lub zrobiłem pkt 2 i 4 pestek przed nami, my 2 i 4 punkty. Tak więc jedynym możliwym sposobem, że oboje tkwić w tym zalewem 2-4-tych jest, jeśli mamy zarówno na pasku z naszymi 2 i 4 kwestie poruszone. Że nie może się zdarzyć z sytuacji, w której jeden gracz nie jest na pasku przez sekwencję 2-4 rolek, ponieważ jedynym sposobem dla obu graczy się na pasku jest jeśli ktoś hity z baru, a jeśli trafisz mi z paska z 2-4 to musi być, że moje 2 lub 4 punkt nie jest. Więc chociaż może to być przypadek, że obaj gracze są na pasku, w ramach kolejnych 2-4-tych począwszy od pozycji, w której co najwyżej jeden zawodnik znajduje się na pasku co najmniej jeden gracz może się poruszać.

Ok, ale co jeśli gracze po prostu zachować wysyłając sobie plecy? Teraz druga część pomysłu Curta McMullen pochodzi w: Kiedy zostaniesz trafiony, twój kontroler idzie do baru, który jest twoja 25 pkt. Odtąd, że kontroler będzie zawsze w dziwnym miejscu, jeśli kostka zawsze pokazują 2-4. Twoje dziwne punkty twojego przeciwnika nawet punkty, więc raz sprawdzania twój jest trafiony, to nie może trafić do sprawdzania na jednym z twojego przeciwnika dziwnych punktów. Nawet jeśli liczba PIP może oscylować w pewnym sensie jest postęp w pracach; sprawdzania na równym miejscu musi przejść w końcu i nie może być odesłany do jeszcze punktu. To sugeruje, stosując zmodyfikowaną pipcount co zmniejsza na każdej wymiany czy hity są wykonane.

Zdefiniuj zmodyfikowanego pipcount być pipcount z pionków na dziwnych punktów oraz 12,5 razy pipcount z pionków na nawet punktów.

b .. BB .. …… …… …..

Na przykład, w powyższej pozycji, modyfikowany pipcount na białym jest 6 nieparzyste pips plus 12,5 razy 8 a nawet pestki = 106. Na niebiesko, istnieje 51 nieparzyste pestek i 12,5 razy 6 a nawet pestki, więc zmodyfikowany pipcount jest 126. Całkowita modyfikowane pipcount to 106 + 126 = 232.

Zmodyfikowany pipcount zmniejsza się wraz z co 2 lub 4 gry:

Jeśli nie checker jest trafiony, wyraźnie pipcount spada o co najmniej 2, ponieważ albo nieparzyste pipsy lub nawet pestki zmniejszy się o 2 lub 4.

Jeśli trafisz przez przeniesienie sprawdzania w dziwnym miejscu twojego, musi on trafić do sprawdzania na równej punktu przeciwnika. Twój dziwny całkowity pip spada o co najmniej 2. Sprawdzania przebojem przyczyniły co najmniej 25 pestek (2×12) do twojego przeciwnika zmodyfikowanej pipcount, a teraz przyczynia się dokładnie 25 (na pasku), więc twój przeciwnik modyfikacji pipcount pozostaje taka sama lub zmniejsza. Tak więc całkowita modyfikowane pipcount spada o co najmniej 2.

Jeśli trafisz przez przeniesienie sprawdzania na nawet punkt twój, musi trafić do sprawdzania na dziwnym punkcie swojego przeciwnika. Zmniejsza to zmodyfikowany pipcount przez co najmniej 25 (2 nawet pestki czasy 12,5). Twój przeciwnik jest modyfikowany pipcount wzrasta o co najwyżej 22 (od 3 do 25), więc suma zmniejsza się o co najmniej 3.

Wreszcie, modyfikowany pipcount z rejestratora jest największa, gdy jest na 24 miejscu, gdzie jego wartość jest 24 razy 12,5 = 300. Jest 30 warcaby, więc maksymalna możliwa modyfikowane pipcount jest 300 razy 30 = 9000. Z każdej wymiany, modyfikacji pipcount spada o co najmniej 2, więc po 9000 2-4-tych z rzędu (4500 wymiana) zmodyfikowano pipcount zostaną zredukowane do 0, a gra zostanie zakończona.

Tak więc z każdej sytuacji prawnej, nie ma co najmniej 1/36 ^ 9020 szansa, że ​​gra zakończy się w ciągu 9020 rolek, więc backgammon kończy się z prawdopodobieństwem 1.

Oczywiście, można dokręcić szacunki nieco i bardziej inteligentne wybory przez gracza by zakończyć grę znacznie szybciej. Z pozycji wyjściowej, 8 5-5 jest po 11 6-6-tych by zakończyć grę. Można stosować 3-6 zamiast 2-4. Dowód nie może być dokręcone zbyt wiele, ponieważ jest możliwe, aby gra trwać ponad 500 rolek 2-4. Ta metoda dowodu też nie daje praktyczne ograniczenia na długość gry, ponieważ wszechświat będzie spływać przed półtrwania gry backgammon, który kończy się z prawdopodobieństwem 1/36 ^ 9020 co 9020 rolek. Ponadto, każdy cyfrowy generator liczb losowych w końcu cyklu, a możliwe jest, że grą używanie takiego generatora może cykl, też.

Z drugiej strony, wynik ten oznacza, że ​​nie powinno się rysuje w backgammon. Jeśli istnieje limit sześcianu lub w Match play, idealny gra istnieje, i nie ważne jak dziki pozycja wydaje się, jest jakaś sprawiedliwość można teoretycznie przypisać do pozycji. Nie wiem jak wy, ale ja lepiej spać w nocy wiedząc o tym.

Prawa autorskie Douglas Zare

Comments are closed.