Die Mathematik des Films “21″


The Mathematics of the Movie “21″
Copyright © By Jeff Moehlis
For original English text, go to: http://www.me.ucsb.edu/~moehlis/21.html

By Jeff Moehlis

Der Film “ 21 ” ist die Geschichte von MIT-Studenten, die “Karten zählen” ihre Wahrscheinlichkeit zu verbessern, um auf den Gewinn des Kartenspiels Blackjack in Casinos. Es überrascht nicht, hat dieser Film einviel Mathematik drin. Am offensichtlichsten ist die “Zählung der Karten “, die auf den Techniken, die in Edward O. Thorpe veröffentlicht basiert 1962 Buch “Beat the Dealer”. Diskussionen über die Methode und Mathematik von “Kartenzählen” basieren auf verschiedenen anderen Websites beschrieben. Auf dieser Website können Sie über andere mathematische Ideen, die in erscheinen lernen der Film. Ich hoffe, dass dies Ihre Freude an dem Film und erhöht vielleicht lernen Sie einige der Mathematik!


Die Fibonacci-Reihe

In “21″, als Ben Campbell (gespielt von Jim Sturgess) feiert seinen
Geburtstag, sagt der Kuchen


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Dies sind die
ersten Terme in der Fibonacci-Reihe, die als Beispiel in die verwendet wurde
Buch Liber Abaci im Jahre 1202 von Leonardo Fibonacci veröffentlicht.
Hierzu wird zunächst die Zahlen zu schreiben “ 0, 1 “, dann definieren, die jeweils erhaltenen
nachfolgende Nummer als die Summe der vorhergehenden zwei Zahlen in der Reihe. Somit kann die
dritte Zahl in der Reihe ist 1 = 1 0 , ist die vierte Zahl 2 = 1 +1 ,
Die fünfte Zahl ist 3 = 2 + 1 , etc. Die nächste Zahl auf dem Kuchen wäre
sein 21 = 13 8 , für Bens 21. Geburtstag. Clever, oder? (Hmmm, bedeutet “21″
beziehen sich auf Blackjack oder Bens Alter?) Ben müssen
warten, bis er 34 = 21 13 für seinen nächsten “Fibonacci-Geburtstag”.

Man kann andere Fibonacci-Reihe, indem Sie verschiedene Zahlen zu definieren,
die ersten beiden Schlitze. Zum Beispiel, beginnend mit der Fibonacci-Reihe
2, 5 ” ist


2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, …


Das Monty Hall Problem

Betrachten Sie die folgende Variation der Endrunde der klassischen TV-
Game-Show Let ‘s Make A Deal :


Es gibt drei Türen, und hinter
einer von ihnen ist ein Auto, hinter den beiden anderen Ziegen sind. Wenn Sie sich entscheiden
die Tür mit dem Auto hinter sich, gewinnst du das Auto. Nun, sagen Sie wählen Tür
1. Der Gastgeber Monty
Halle öffnet dann entweder Tür 2 oder Tür 3, hinter dem sich eine Ziege. (Er weiß,
was sich hinter jeder Tür, und nie
öffnet die Tür mit dem Auto dahinter) Monty jetzt haben Sie die Wahl.:
willst du mit Tür 1 zu bleiben, oder wechseln Sie zu der anderen Tür. Was
sollten Sie tun? Oder macht das schon?

Eine ähnliche Frage ist Ben Campbell (gespielt von Jim Sturgess), indem gestellt
Professor Micky Rosa (gespielt von Kevin Spacey) in dem Film “21″. Ohne
Zögern antwortet Ben das richtig, die überzeugt
Professor Rosa, dass Ben wäre eine gute Ergänzung zu ihrem “Kartenzählen sein
Team “. Bevor Sie weiterlesen, versuchen, diese selbst zu beantworten.

Man löst dieses Problem, indem die Wahrscheinlichkeit der Wahl, wenn Sie das Auto
haften mit Ihrem ursprünglichen Wahl der Wahrscheinlichkeit der Auswahl des Auto
Wenn Sie nach dem Einschalten Monty öffnet die Tür ein. Beachten Sie, dass das Auto hat eine gleichberechtigte
Wahrscheinlichkeit von 1/3, hinter Tür 1, Tür 2 oder Tür 3.

Erstens nehme an, dass Ihre Strategie, um mit Ihrem ursprünglichen halten ist
Wahl der Tür 1. Dann müssen Sie nur gewinnen, wenn das Auto hinter Tür 1, so dass
Ihre Wahrscheinlichkeit des Gewinnens ist 1/3 .

Als nächstes nehme an, dass Ihre Strategie, um Türen zu wechseln ist. Wir brechen diese in
drei Fälle:

  • Wenn das Auto hinter Tür 1, wird Monty entweder öffnen
    Tür 2 oder Tür 3, um eine Ziege zu offenbaren. Sie wechseln in die andere Tür 2
    oder Tür 3, und in diesen Fällen haben Sie während einer Tür mit einer Ziege dahinter
    sie (Sie erinnern sich, das Auto ist hinter Tür 1).
  • Wenn das Auto hinter Tür 2, wird Monty Tür 3 öffnen. Dies liegt daran,
    er öffnet sich immer eine Tür mit einer Ziege dahinter, und er kann sich nicht öffnen Tür 1
    denn, dass Ihre ursprüngliche Wahl war. So ist die einzige Tür können Sie wechseln
    ist zu Tür 2, die die Tür mit dem Auto hinter ihm ist. Ding! Sie gewinnen!
  • Wenn das Auto hinter Tür 3, wird Monty Tür 2 zu öffnen. Dies liegt daran,
    er öffnet sich immer eine Tür mit einer Ziege dahinter, und er kann sich nicht öffnen Tür 1
    denn, dass Ihre ursprüngliche Wahl war. So ist die einzige Tür können Sie wechseln
    ist zu Tür 3, die wiederum ist die Tür mit dem Auto hinter sich. Ding!
    Sie gewinnen!

    Also, wenn Ihre Strategie ist es, Türen zu wechseln, gewinnen sie
    2/3 = 1/3 + 1/3 der Zeit. (Denken Sie daran,
    die Wahrscheinlichkeit von 1/3, dass der Wagen hinter einer bestimmten Tür.)
    Deshalb ist eine bessere Strategie, um Türen wechseln – den berechneten
    Wahrscheinlichkeiten angeben, dass Sie doppelt so häufig gewinnen, wenn Sie dies tun!

    Bens richtige Antwort in dem Film “21″ zeigt an, dass er ein guter Mensch ist
    für “Zählen der Karten”. Nicht nur, dass sie zeigen, dass er klug ist,
    aber es zeigt auch, dass er erkennt, dass es am besten, mit der Wahl gehen die
    maximiert die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen. Diese Erkenntnis ist wichtig,
    Der Erfolg von “Zählen der Karten” für Blackjack.

    Im Jahr 1990 erschien eine ähnliche Frage in einem Brief an Marilyn vos Savant des
    Ask Marilyn Spalte in Parade (das kommt in einigen Sonntag
    Zeitungen). Marilyn gab die richtige Antwort, aber viele Leser
    (Einschließlich Mathematik-Professoren) angenommen, dass dies falsch war.
    So fühlen sich nicht zu schade, wenn Sie es falsch verstanden, wenn Sie es für sich selbst beantworten.
    Aber jetzt wissen Sie!


  • Das Newton-Raphson-Methode

    Man könnte von einer Algebra-Klasse erinnern, dass die Lösungen, um die
    Gleichung

    sind durch die quadratische Formel

    Nehmen wir stattdessen, dass Sie einen Wert für finden wollen x , welche löst die allgemeine algebraische Gleichung


    f (x) = 0.

    Ein solcher Wert für x wird als eine Wurzel des f (x) . Bis auf
    besondere Auswahl von f (x) , wie f (x) = ax 2 + bx + c
    wie oben, kann man nicht finden, die Wurzeln mit algebraischen Operationen.

    In dem Film “21″, Professor Micky Rosa (gespielt von Kevin Spacey)
    ist Dozent an der Newton-Raphson-Verfahren für das Finden der Wurzeln
    von f (x) . Dies wurde unabhängig von Isaac Newton und Joseph Raphson im 1600 entwickelt.
    Die Idee ist, eine Vermutung für eine Wurzel der Gleichung (nennen wir es x 0 ) zu machen,
    dann zu verwenden, diese Vermutung um einen Wert für x (nennen wir es x 1 ) erzeugen die
    ist (hoffentlich) noch näher an der Wurzel als die ursprüngliche Vermutung. Dies ist
    getan, indem er die Tangente an die Funktion f (x) in x = x 0 und unter
    x 1 als Wert für x, an dem diese Gerade durch Null geht.
    (Für diejenigen unter Ihnen, Kalkül kennen, werden Sie erkennen, dass diese Tangente
    Linie wird durch die Ableitung von bestimmt f (x) .)
    Durch Iteration dieses Verfahren immer und immer wieder zu erzeugen x 2 , x 3 , etc, ein
    (Hoffentlich) erhält Werte, die besser und besser sind Annäherungen an die
    Wurzel. Ich sage immer “hoffentlich”, weil der Newton-Raphson-Methode ist nicht immer erfolgreich, obwohl es wahrscheinlicher ist, dass wenn man einen guten ersten machen
    zu erraten. Diese Abbildung zeigt die Methode:

    Diese Methode wurde schon lange vor Computern existierte entwickelt, sondern stellt sich heraus,
    als ideal für die Implementierung auf einem Computer: Man verwendet eine Schleife zu generieren
    aufeinanderfolgende Werte von x n .


    Zählen der Karten

    Eine schöne Diskussion über “Zählen der Karten” für Blackjack wird gegeben
    in diesem Wikipedia Artikel .


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